Distributivité à droite - Corrigé

Énoncé  
Soit les matrices  \(A=\begin{pmatrix} 1&-2\\3&1 \end{pmatrix}\) ,  \(B=\begin{pmatrix} 2&1\\3&2 \end{pmatrix}\)  et  \(C=\begin{pmatrix} 1&0\\-2&1 \end{pmatrix}\) .

1. Justifier que l'on peut calculer  \(AC\)  et  \(BC\)  et effectuer ces produits.

2. Calculer  \(AC+BC\) .

3. Calculer  \(D=A+B\) .

4. Justifier que l'on peut calculer  \(DC\)  et effectuer ce produit.

5. Comparer  \(DC\)  avec  \(AC+BC\) .

 Solution

1.  \(A\)  a deux colonnes et  \(C\)  a deux lignes, donc on peut calculer  \(AC\) .
\(AC=\begin{pmatrix} 5&-2\\1&1 \end{pmatrix}\)

\(B\)  a deux colonnes et  \(C\)  a deux lignes, donc on peut calculer  \(BC\) .
\(BC=\begin{pmatrix} 0&1\\-1&2 \end{pmatrix}\)

2.  \(AC+BC=\begin{pmatrix} 5&-1\\0&3 \end{pmatrix}\)

3.  \(D=A+B=\begin{pmatrix} 3&-1\\6&3 \end{pmatrix}\)  

4.  \(D\)  a deux colonnes et  \(C\)  a deux lignes, donc on peut calculer  \(DC\) .
\(DC=\begin{pmatrix} 3&-1\\6&3 \end{pmatrix}\)

5. On a donc  \(DC=AC+BC\) , c'est-à-dire  \((A+B)C=AC+BC\) qui illustre la distributivité à droite.